Risolvi 3/x+5/x+2=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 5 } { x + 2 } = 2$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Combina 3x e x\times 5 per ottenere 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Combina 8x e -4x per ottenere 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$2x+3-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=3 b=-1$$

Riscrivi -x^{2}+2x+3 come \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Fattori in -x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e -x-1=0.

$$x=3 x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Combina 3x e x\times 5 per ottenere 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Combina 8x e -4x per ottenere 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-2x^{2}+4x+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -2 a a, 4 a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+8\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 8 per 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-2\right)}$$

Aggiungi 16 a 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 2 per -2.

$$x=\frac{-4±8}{-4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±8}{-4} quando ± è più. Aggiungi -4 a 8.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Dividi 4 per -4.

$$x=-1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±8}{-4} quando ± è meno. Sottrai 8 da -4.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Dividi -12 per -4.

$$x=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-1 x=3$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Combina 3x e x\times 5 per ottenere 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Combina 8x e -4x per ottenere 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Sottrai 6 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$4x-2x^{2}=-6$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+4x=-6$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$\frac{-2x^{2}+4x}{-2}=-\frac{6}{-2}$$

La divisione per -2 annulla la moltiplicazione per -2.

$$x^{2}+\frac{4}{-2}x=-\frac{6}{-2}$$

Dividi 4 per -2.

$$x^{2}-2x=-\frac{6}{-2}$$

Dividi -6 per -2.

$$x^{2}-2x=3$$

Dividi -2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -1. Quindi aggiungi il quadrato di -1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Aggiungi 3 a 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Fattore x^{2}-2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-1$$