Risolvi 3/5x^2-13x+8+2/x-1

$$\frac { 3 } { 5 x ^ { 2 } - 13 x + 8 } + \frac { 2 } { x - 1 }$$

Calcola

$$\frac{10x-13}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)}$$

Soluzione con pochi passaggi

Fattorizzare 5x^{2}-13x+8.

$$\frac{3}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)}+\frac{2}{x-1}$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di \left(x-1\right)\left(5x-8\right) e x-1 è \left(x-1\right)\left(5x-8\right). Moltiplica \frac{2}{x-1} per \frac{5x-8}{5x-8}.

$$\frac{3}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)}+\frac{2\left(5x-8\right)}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)}$$

Poiché \frac{3}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)} e \frac{2\left(5x-8\right)}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{3+2\left(5x-8\right)}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)}$$

Esegui le moltiplicazioni in 3+2\left(5x-8\right).

$$\frac{3+10x-16}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)}$$

Unisci i termini come in 3+10x-16.

$$\frac{-13+10x}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)}$$

Espandi \left(x-1\right)\left(5x-8\right).

$$\frac{-13+10x}{5x^{2}-13x+8}$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{-50x^{2}+130x-89}{\left(\left(x-1\right)\left(5x-8\right)\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Fattorizzare 5x^{2}-13x+8.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)}+\frac{2}{x-1})$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di \left(x-1\right)\left(5x-8\right) e x-1 è \left(x-1\right)\left(5x-8\right). Moltiplica \frac{2}{x-1} per \frac{5x-8}{5x-8}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)}+\frac{2\left(5x-8\right)}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)})$$

Poiché \frac{3}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)} e \frac{2\left(5x-8\right)}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3+2\left(5x-8\right)}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)})$$

Esegui le moltiplicazioni in 3+2\left(5x-8\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3+10x-16}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)})$$

Unisci i termini come in 3+10x-16.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-13+10x}{\left(x-1\right)\left(5x-8\right)})$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-1 per 5x-8 e combinare i termini simili.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-13+10x}{5x^{2}-13x+8})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(10x^{1}-13)-\left(10x^{1}-13\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(5x^{2}-13x^{1}+8)}{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)\times 10x^{1-1}-\left(10x^{1}-13\right)\left(2\times 5x^{2-1}-13x^{1-1}\right)}{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)\times 10x^{0}-\left(10x^{1}-13\right)\left(10x^{1}-13x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)^{2}}$$

Moltiplica 5x^{2}-13x^{1}+8 per 10x^{0}.

$$\frac{5x^{2}\times 10x^{0}-13x^{1}\times 10x^{0}+8\times 10x^{0}-\left(10x^{1}-13\right)\left(10x^{1}-13x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)^{2}}$$

Moltiplica 10x^{1}-13 per 10x^{1}-13x^{0}.

$$\frac{5x^{2}\times 10x^{0}-13x^{1}\times 10x^{0}+8\times 10x^{0}-\left(10x^{1}\times 10x^{1}+10x^{1}\left(-13\right)x^{0}-13\times 10x^{1}-13\left(-13\right)x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{5\times 10x^{2}-13\times 10x^{1}+8\times 10x^{0}-\left(10\times 10x^{1+1}+10\left(-13\right)x^{1}-13\times 10x^{1}-13\left(-13\right)x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{50x^{2}-130x^{1}+80x^{0}-\left(100x^{2}-130x^{1}-130x^{1}+169x^{0}\right)}{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{-50x^{2}+130x^{1}-89x^{0}}{\left(5x^{2}-13x^{1}+8\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{-50x^{2}+130x-89x^{0}}{\left(5x^{2}-13x+8\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{-50x^{2}+130x-89}{\left(5x^{2}-13x+8\right)^{2}}$$