Risolvi 3/1+x-2x^2+x/x-1

$$\frac { 3 } { 1 + x - 2 x ^ { 2 } } + \frac { x } { x - 1 }$$

Calcola

$$\frac{2x+3}{2x+1}$$

Soluzione con pochi passaggi

Fattorizzare 1+x-2x^{2}.

$$\frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x}{x-1}$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di \left(-x+1\right)\left(2x+1\right) e x-1 è \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Moltiplica \frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)} per \frac{-1}{-1}. Moltiplica \frac{x}{x-1} per \frac{2x+1}{2x+1}.

$$\frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Poiché \frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} e \frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Esegui le moltiplicazioni in 3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right).

$$\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Scomponi in fattori le espressioni che non sono già scomposte in "\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}".

$$\frac{\left(x-1\right)\left(2x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Cancella x-1 nel numeratore e nel denominatore.

$$\frac{2x+3}{2x+1}$$

Differenzia rispetto a x

$$-\frac{4}{\left(2x+1\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Fattorizzare 1+x-2x^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x}{x-1})$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di \left(-x+1\right)\left(2x+1\right) e x-1 è \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Moltiplica \frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)} per \frac{-1}{-1}. Moltiplica \frac{x}{x-1} per \frac{2x+1}{2x+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Poiché \frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} e \frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Esegui le moltiplicazioni in 3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Scomponi in fattori le espressioni che non sono già scomposte in "\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}".

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(x-1\right)\left(2x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Cancella x-1 nel numeratore e nel denominatore.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+3}{2x+1})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}+3)-\left(2x^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}+1)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\times 2x^{1-1}-\left(2x^{1}+3\right)\times 2x^{1-1}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\times 2x^{0}-\left(2x^{1}+3\right)\times 2x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Espandi tramite proprietà distributiva.

$$\frac{2x^{1}\times 2x^{0}+2x^{0}-\left(2x^{1}\times 2x^{0}+3\times 2x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{2\times 2x^{1}+2x^{0}-\left(2\times 2x^{1}+3\times 2x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{4x^{1}+2x^{0}-\left(4x^{1}+6x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$$\frac{4x^{1}+2x^{0}-4x^{1}-6x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{\left(4-4\right)x^{1}+\left(2-6\right)x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Sottrai 4 da 4 e 6 da 2.

$$\frac{-4x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{-4x^{0}}{\left(2x+1\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{-4}{\left(2x+1\right)^{2}}$$