Risolvi 2x-5/x^2+3x+2+4/x^2-4=1/x-2

$$\frac { 2 x - 5 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = \frac { 1 } { x - 2 }$$

Trova x

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,-1,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 2x-5 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combina -9x e 4x per ottenere -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

E 10 e 4 per ottenere 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per x+2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} per ottenere x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combina -5x e -3x per ottenere -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Sottrai 2 da 14 per ottenere 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-8x+12 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-6 b=-2$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x-2=0.

$$x=6 x=2$$

La variabile x non può essere uguale a 2.

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,-1,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 2x-5 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combina -9x e 4x per ottenere -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

E 10 e 4 per ottenere 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per x+2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} per ottenere x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combina -5x e -3x per ottenere -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Sottrai 2 da 14 per ottenere 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-6 b=-2$$

Riscrivi x^{2}-8x+12 come \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Fattori in x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x-2=0.

$$x=6 x=2$$

La variabile x non può essere uguale a 2.

$$x=6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,-1,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 2x-5 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combina -9x e 4x per ottenere -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

E 10 e 4 per ottenere 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per x+2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} per ottenere x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combina -5x e -3x per ottenere -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Sottrai 2 da 14 per ottenere 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -8 a b e 12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Aggiungi 64 a -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±4}{2} quando ± è più. Aggiungi 8 a 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dividi 12 per 2.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±4}{2} quando ± è meno. Sottrai 4 da 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Dividi 4 per 2.

$$x=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=2$$

La variabile x non può essere uguale a 2.

$$x=6$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,-1,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per 2x-5 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combina -9x e 4x per ottenere -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

E 10 e 4 per ottenere 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per x+2 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} per ottenere x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combina -5x e -3x per ottenere -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Sottrai 14 da entrambi i lati.

$$x^{2}-8x=2-14$$

Sottrai 14 da 2 per ottenere -12.

$$x^{2}-8x=-12$$

Dividi -8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -4. Quindi aggiungi il quadrato di -4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Aggiungi -12 a 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Fattore x^{2}-8x+16. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=2$$

La variabile x non può essere uguale a 2.

$$x=6$$