Risolvi 2x^2+1/2x-x^2/x+1=3x^2-1/x(x+1)

$$\frac { 2 x ^ { 2 } + 1 } { 2 x } - \frac { x ^ { 2 } } { x + 1 } = \frac { 3 x ^ { 2 } - 1 } { x ( x + 1 ) }$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di 2x,x+1,x\left(x+1\right).

$$\left(x+1\right)\left(2x^{2}+1\right)-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 2x^{2}+1.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 1 e 2 per ottenere 3.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per 3x^{2}-1.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=6x^{2}-2$$

Sottrai 6x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}-6x^{2}=-2$$

Combina 2x^{2} e -6x^{2} per ottenere -4x^{2}.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}=-2$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}+2=0$$

E 1 e 2 per ottenere 3.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+3-2x^{3}=0$$

Combina 2x^{3} e -2x^{3} per ottenere 0.

$$x-4x^{2}+3=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-4x^{2}+x+3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -4x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=-4\times 3=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=4 b=-3$$

Riscrivi -4x^{2}+x+3 come \left(-4x^{2}+4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-4x^{2}+4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+1=0 e 4x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di 2x,x+1,x\left(x+1\right).

$$\left(x+1\right)\left(2x^{2}+1\right)-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 2x^{2}+1.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 1 e 2 per ottenere 3.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per 3x^{2}-1.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=6x^{2}-2$$

Sottrai 6x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}-6x^{2}=-2$$

Combina 2x^{2} e -6x^{2} per ottenere -4x^{2}.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}=-2$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}+2=0$$

E 1 e 2 per ottenere 3.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+3-2x^{3}=0$$

Combina 2x^{3} e -2x^{3} per ottenere 0.

$$x-4x^{2}+3=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-4x^{2}+x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -4 a a, 1 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica -4 per -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 16 per 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\left(-4\right)}$$

Aggiungi 1 a 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\left(-4\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 2 per -4.

$$x=\frac{-1±7}{-8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±7}{-8} quando ± è più. Aggiungi -1 a 7.

$$x=\frac{6}{-8}$$

Riduci la frazione \frac{6}{-8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±7}{-8} quando ± è meno. Sottrai 7 da -1.

$$x=-\frac{8}{-8}$$

Dividi -8 per -8.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{3}{4} x=1$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di 2x,x+1,x\left(x+1\right).

$$\left(x+1\right)\left(2x^{2}+1\right)-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 2x^{2}+1.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2xx^{2}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 1 e 2 per ottenere 3.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=2\left(3x^{2}-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per 3x^{2}-1.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}=6x^{2}-2$$

Sottrai 6x^{2} da entrambi i lati.

$$2x^{3}+x+2x^{2}+1-2x^{3}-6x^{2}=-2$$

Combina 2x^{2} e -6x^{2} per ottenere -4x^{2}.

$$2x^{3}+x-4x^{2}+1-2x^{3}=-2$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$2x^{3}+x-4x^{2}-2x^{3}=-2-1$$

Sottrai 1 da -2 per ottenere -3.

$$2x^{3}+x-4x^{2}-2x^{3}=-3$$

Combina 2x^{3} e -2x^{3} per ottenere 0.

$$x-4x^{2}=-3$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+x=-3$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$\frac{-4x^{2}+x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

La divisione per -4 annulla la moltiplicazione per -4.

$$x^{2}+\frac{1}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Dividi 1 per -4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=-\frac{3}{-4}$$

Dividi -3 per -4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

Dividi -\frac{1}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a \frac{1}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Aggiungi \frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$