Risolvi 2r/r^2-1-1/r+1

$$\frac { 2 r } { r ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { r + 1 }$$

Calcola

$$\frac{1}{r-1}$$

Soluzione con pochi passaggi

Fattorizzare r^{2}-1.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1}$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di \left(r-1\right)\left(r+1\right) e r+1 è \left(r-1\right)\left(r+1\right). Moltiplica \frac{1}{r+1} per \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Poiché \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} e \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Esegui le moltiplicazioni in 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Unisci i termini come in 2r-r+1.

$$\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Cancella r+1 nel numeratore e nel denominatore.

$$\frac{1}{r-1}$$

Differenzia rispetto a r

$$-\frac{1}{\left(r-1\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola di concatenazione

Fattorizzare r^{2}-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1})$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di \left(r-1\right)\left(r+1\right) e r+1 è \left(r-1\right)\left(r+1\right). Moltiplica \frac{1}{r+1} per \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Poiché \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} e \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Esegui le moltiplicazioni in 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Unisci i termini come in 2r-r+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Cancella r+1 nel numeratore e nel denominatore.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{1}{r-1})$$

Se F è la composizione delle due funzioni differenziabili f\left(u\right) e u=g\left(x\right), ossia, se F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), quindi la derivata di F è uguale alla derivata di f rispetto a u moltiplicata per la derivata di g rispetto a x, ossia, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{1}-1)$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-2}r^{1-1}$$

Semplifica.

$$-r^{0}\left(r^{1}-1\right)^{-2}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$-r^{0}\left(r-1\right)^{-2}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$-\left(r-1\right)^{-2}$$