Risolvi 2/x+2/x+1=3

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Combina 2x e x\times 2 per ottenere 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x per x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Combina 4x e -3x per ottenere x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=3 b=-2$$

Riscrivi -3x^{2}+x+2 come \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+1=0 e 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Combina 2x e x\times 2 per ottenere 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x per x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Combina 4x e -3x per ottenere x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 1 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 1 a 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±5}{-6} quando ± è più. Aggiungi -1 a 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{4}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±5}{-6} quando ± è meno. Sottrai 5 da -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dividi -6 per -6.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Combina 2x e x\times 2 per ottenere 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x per x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Combina 4x e -3x per ottenere x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$x-3x^{2}=-2$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Dividi 1 per -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Dividi -2 per -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Dividi -\frac{1}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a \frac{1}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Aggiungi \frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$