Risolvi 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Trova x

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,-1,1,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x+1 e combinare i termini simili.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+3x+2 per 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per x-1 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 2x^{2} e x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 6x e -3x per ottenere 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

E 4 e 2 per ottenere 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-1 per 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combina 3x^{2} e -4x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

E 6 e 4 per ottenere 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=5 b=-2$$

Riscrivi -x^{2}+3x+10 come \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Fattorizza -x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-5 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-5=0 e -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

La variabile x non può essere uguale a -2.

$$x=5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,-1,1,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x+1 e combinare i termini simili.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+3x+2 per 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per x-1 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 2x^{2} e x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 6x e -3x per ottenere 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

E 4 e 2 per ottenere 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-1 per 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combina 3x^{2} e -4x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

E 6 e 4 per ottenere 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 3 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 9 a 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±7}{-2} quando ± è più. Aggiungi -3 a 7.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Dividi 4 per -2.

$$x=-2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±7}{-2} quando ± è meno. Sottrai 7 da -3.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Dividi -10 per -2.

$$x=5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-2 x=5$$

La variabile x non può essere uguale a -2.

$$x=5$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,-1,1,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x+1 e combinare i termini simili.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+3x+2 per 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-2 per x-1 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 2x^{2} e x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combina 6x e -3x per ottenere 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

E 4 e 2 per ottenere 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-1 per 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combina 3x^{2} e -4x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

Sottrai 6 da -4 per ottenere -10.

$$-x^{2}+3x=-10$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Dividi 3 per -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

Dividi -10 per -1.

$$x^{2}-3x=10$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 10 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Scomponi x^{2}-3x+\frac{9}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=-2$$

La variabile x non può essere uguale a -2.

$$x=5$$