Risolvi frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Calcola

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Procedura della soluzione

Razionalizza il denominatore di \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Considera \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Eleva 2 al quadrato. Eleva \sqrt{5} al quadrato.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Sottrai 5 da 4 per ottenere -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Moltiplica 2+\sqrt{5} e 2+\sqrt{5} per ottenere \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Il quadrato di \sqrt{5} è 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

E 4 e 5 per ottenere 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Qualsiasi numero diviso per -1 avrà come risultato il suo opposto. Per trovare l'opposto di 9+4\sqrt{5}, trova l'opposto di ogni termine.

$$-9-4\sqrt{5}$$