Risolvi 168/x-168/x+14=1

$$\frac { 168 } { x } - \frac { 168 } { x + 14 } = 1$$

Trova x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -14,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+14\right), il minimo comune multiplo di x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+14 per 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Sottrai 14x da entrambi i lati.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combina 168x e -14x per ottenere 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Moltiplica -1 e 168 per ottenere -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Combina 154x e -168x per ottenere -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+2352. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-14 ab=-2352=-2352$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -2352.

$$1,-2352 2,-1176 3,-784 4,-588 6,-392 7,-336 8,-294 12,-196 14,-168 16,-147 21,-112 24,-98 28,-84 42,-56 48,-49$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-2352=-2351 2-1176=-1174 3-784=-781 4-588=-584 6-392=-386 7-336=-329 8-294=-286 12-196=-184 14-168=-154 16-147=-131 21-112=-91 24-98=-74 28-84=-56 42-56=-14 48-49=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -14 come somma.

$$a=42 b=-56$$

Riscrivi -x^{2}-14x+2352 come \left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right).

$$\left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right)$$

Fattori in x nel primo e 56 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x+42\right)+56\left(-x+42\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+42 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+42\right)\left(x+56\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+42=0 e x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -14,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+14\right), il minimo comune multiplo di x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+14 per 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Sottrai 14x da entrambi i lati.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combina 168x e -14x per ottenere 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Moltiplica -1 e 168 per ottenere -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Combina 154x e -168x per ottenere -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -14 a b e 2352 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -14 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 2352.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+9408}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 196 a 9408.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{9604}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 9604.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±98}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -14 è 14.

$$x=\frac{14±98}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{14±98}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±98}{-2} quando ± è più. Aggiungi 14 a 98.

$$x=\frac{112}{-2}$$

Dividi 112 per -2.

$$x=-56$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±98}{-2} quando ± è meno. Sottrai 98 da 14.

$$x=-\frac{84}{-2}$$

Dividi -84 per -2.

$$x=42$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-56 x=42$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -14,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+14\right), il minimo comune multiplo di x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+14 per 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Sottrai 14x da entrambi i lati.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combina 168x e -14x per ottenere 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Sottrai 2352 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$154x-x\times 168-x^{2}=-2352$$

Moltiplica -1 e 168 per ottenere -168.

$$154x-168x-x^{2}=-2352$$

Combina 154x e -168x per ottenere -14x.

$$-14x-x^{2}=-2352$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-14x=-2352$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-14x}{-1}=-\frac{2352}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)x=-\frac{2352}{-1}$$

Dividi -14 per -1.

$$x^{2}+14x=-\frac{2352}{-1}$$

Dividi -2352 per -1.

$$x^{2}+14x=2352$$

Dividi 14, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 7. Quindi aggiungi il quadrato di 7 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Aggiungi 2352 a 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Fattore x^{2}+14x+49. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Semplifica.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Sottrai 7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=42 x=-56$$