Risolvi 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Trova x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -250,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2x\left(x+250\right), il minimo comune multiplo di x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+500 per 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Moltiplica 2 e 1500 per ottenere 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Sottrai 250x da entrambi i lati.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combina 3000x e -250x per ottenere 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Combina 2750x e -3000x per ottenere -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+750000. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -750000.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

La soluzione è la coppia che restituisce 250 come somma.

$$a=-750 b=1000$$

Riscrivi -x^{2}-250x+750000 come \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Fattori in x nel primo e 1000 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Fattorizza il termine comune x-750 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-750=0 e x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -250,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2x\left(x+250\right), il minimo comune multiplo di x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+500 per 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Moltiplica 2 e 1500 per ottenere 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Sottrai 250x da entrambi i lati.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combina 3000x e -250x per ottenere 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Combina 2750x e -3000x per ottenere -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -250 a b e 750000 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -250 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 62500 a 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -250 è 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{250±1750}{-2} quando ± è più. Aggiungi 250 a 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Dividi 2000 per -2.

$$x=-1000$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{250±1750}{-2} quando ± è meno. Sottrai 1750 da 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Dividi -1500 per -2.

$$x=750$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-1000 x=750$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -250,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2x\left(x+250\right), il minimo comune multiplo di x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+500 per 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Moltiplica 2 e 1500 per ottenere 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Sottrai 250x da entrambi i lati.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combina 3000x e -250x per ottenere 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Sottrai 750000 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Combina 2750x e -3000x per ottenere -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Dividi -250 per -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Dividi -750000 per -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Dividi 250, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 125. Quindi aggiungi il quadrato di 125 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Eleva 125 al quadrato.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Aggiungi 750000 a 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Fattore x^{2}+250x+15625. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Semplifica.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Sottrai 125 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=750 x=-1000$$