Risolvi 10/(x+3)(x-7)-8/(x+3)(x-5)=x+10/(x-5)(x-7)

$$\frac { 10 } { ( x + 3 ) ( x - 7 ) } - \frac { 8 } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) } = \frac { x + 10 } { ( x - 5 ) ( x - 7 ) }$$

Trova x

$$x=-8$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,5,7 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-5 per 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-7 per 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Per trovare l'opposto di 8x-56, trova l'opposto di ogni termine.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Combina 10x e -8x per ottenere 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

E -50 e 56 per ottenere 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+3 per x+10 e combinare i termini simili.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Sottrai 13x da entrambi i lati.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Combina 2x e -13x per ottenere -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Sottrai 30 da entrambi i lati.

$$-11x+6-x^{2}-30=0$$

Sottrai 30 da 6 per ottenere -24.

$$-11x-24-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}-11x-24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -11 a b e -24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -11 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 121 a -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -11 è 11.

$$x=\frac{11±5}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{11±5}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{11±5}{-2} quando ± è più. Aggiungi 11 a 5.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Dividi 16 per -2.

$$x=-8$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{11±5}{-2} quando ± è meno. Sottrai 5 da 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dividi 6 per -2.

$$x=-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-8 x=-3$$

La variabile x non può essere uguale a -3.

$$x=-8$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -3,5,7 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), il minimo comune multiplo di \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-5 per 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-7 per 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Per trovare l'opposto di 8x-56, trova l'opposto di ogni termine.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Combina 10x e -8x per ottenere 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

E -50 e 56 per ottenere 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+3 per x+10 e combinare i termini simili.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Sottrai 13x da entrambi i lati.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Combina 2x e -13x per ottenere -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$-11x-x^{2}=30-6$$

Sottrai 6 da 30 per ottenere 24.

$$-11x-x^{2}=24$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-11x=24$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-11x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{11}{-1}\right)x=\frac{24}{-1}$$

Dividi -11 per -1.

$$x^{2}+11x=\frac{24}{-1}$$

Dividi 24 per -1.

$$x^{2}+11x=-24$$

Dividi 11, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{11}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{11}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Aggiungi -24 a \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Fattore x^{2}+11x+\frac{121}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Sottrai \frac{11}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3 x=-8$$

La variabile x non può essere uguale a -3.

$$x=-8$$