Risolvi 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Trova x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 1,4 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), il minimo comune multiplo di x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Combina 4x e 4x per ottenere 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Sottrai 4 da -16 per ottenere -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x-20 per x-1 e combinare i termini simili.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Aggiungi 25x a entrambi i lati.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Combina 8x e 25x per ottenere 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Sottrai 20 da entrambi i lati.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Sottrai 20 da -20 per ottenere -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -5 a a, 33 a b e -40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Eleva 33 al quadrato.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica -4 per -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 20 per -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Aggiungi 1089 a -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 2 per -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-33±17}{-10} quando ± è più. Aggiungi -33 a 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Riduci la frazione \frac{-16}{-10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-33±17}{-10} quando ± è meno. Sottrai 17 da -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Dividi -50 per -10.

$$x=5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 1,4 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), il minimo comune multiplo di x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Combina 4x e 4x per ottenere 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Sottrai 4 da -16 per ottenere -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x-20 per x-1 e combinare i termini simili.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Aggiungi 25x a entrambi i lati.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Combina 8x e 25x per ottenere 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Aggiungi 20 a entrambi i lati.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

E 20 e 20 per ottenere 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Dividi entrambi i lati per -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

La divisione per -5 annulla la moltiplicazione per -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Dividi 33 per -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Dividi 40 per -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Dividi -\frac{33}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{33}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{33}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{33}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Aggiungi -8 a \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Fattore x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Aggiungi \frac{33}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$