Risolvi 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Combina x e x\times 4 per ottenere 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Combina 5x e x per ottenere 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Sottrai 15x da entrambi i lati.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Combina 6x e -15x per ottenere -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Sottrai 15 da entrambi i lati.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Sottrai 15 da 1 per ottenere -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -9 a b e -14 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Eleva -9 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Aggiungi 81 a 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

L'opposto di -9 è 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} quando ± è più. Aggiungi 9 a \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{137} da 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Combina x e x\times 4 per ottenere 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Combina 5x e x per ottenere 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Sottrai 15x da entrambi i lati.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Combina 6x e -15x per ottenere -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Sottrai 1 da 15 per ottenere 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x=14$$

Dividi -9, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{9}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{9}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Aggiungi 14 a \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Fattore x^{2}-9x+\frac{81}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Aggiungi \frac{9}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$