Risolvi 1/x+1/x+18-1/12=0

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 18 } - \frac { 1 } { 12 } = 0$$

Trova x

$$x=-12$$

$$x=18$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -18,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 12x\left(x+18\right), il minimo comune multiplo di x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Combina 12x e 12x per ottenere 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Moltiplica 12 e -\frac{1}{12} per ottenere -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -x per x+18.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Combina 24x e -18x per ottenere 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+216. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=-216=-216$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -216.

$$-1,216 -2,108 -3,72 -4,54 -6,36 -8,27 -9,24 -12,18$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+216=215 -2+108=106 -3+72=69 -4+54=50 -6+36=30 -8+27=19 -9+24=15 -12+18=6$$

La soluzione è la coppia che restituisce 6 come somma.

$$a=18 b=-12$$

Riscrivi -x^{2}+6x+216 come \left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right).

$$\left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right)$$

Fattori in -x nel primo e -12 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-18\right)-12\left(x-18\right)$$

Fattorizza il termine comune x-18 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-18\right)\left(-x-12\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-18=0 e -x-12=0.

$$x=18 x=-12$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -18,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 12x\left(x+18\right), il minimo comune multiplo di x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Combina 12x e 12x per ottenere 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Moltiplica 12 e -\frac{1}{12} per ottenere -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -x per x+18.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Combina 24x e -18x per ottenere 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 6 a b e 216 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 216.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+864}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 36 a 864.

$$x=\frac{-6±\sqrt{900}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 900.

$$x=\frac{-6±30}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-6±30}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±30}{-2} quando ± è più. Aggiungi -6 a 30.

$$x=\frac{24}{-2}$$

Dividi 24 per -2.

$$x=-12$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±30}{-2} quando ± è meno. Sottrai 30 da -6.

$$x=-\frac{36}{-2}$$

Dividi -36 per -2.

$$x=18$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-12 x=18$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -18,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 12x\left(x+18\right), il minimo comune multiplo di x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Combina 12x e 12x per ottenere 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Moltiplica 12 e -\frac{1}{12} per ottenere -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -x per x+18.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Combina 24x e -18x per ottenere 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Sottrai 216 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$6x-x^{2}=-216$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+6x=-216$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=-\frac{216}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=-\frac{216}{-1}$$

Dividi 6 per -1.

$$x^{2}-6x=-\frac{216}{-1}$$

Dividi -216 per -1.

$$x^{2}-6x=216$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=216+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x^{2}-6x+9=216+9$$

Aggiungi 216 a 9.

$$x^{2}-6x+9=225$$

Fattore x^{2}-6x+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=225$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Semplifica.

$$x-3=15 x-3=-15$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=18 x=-12$$