Risolvi 1/x^2-2x+5dx

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 } d x$$

Calcola

$$\frac{dx}{x^{2}-2x+5}$$

Procedura della soluzione

Esprimi \frac{1}{x^{2}-2x+5}d come singola frazione.

$$\frac{d}{x^{2}-2x+5}x$$

Esprimi \frac{d}{x^{2}-2x+5}x come singola frazione.

$$\frac{dx}{x^{2}-2x+5}$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{d\left(5-x^{2}\right)}{\left(x^{2}-2x+5\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Esprimi \frac{1}{x^{2}-2x+5}d come singola frazione.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{d}{x^{2}-2x+5}x)$$

Esprimi \frac{d}{x^{2}-2x+5}x come singola frazione.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{dx}{x^{2}-2x+5})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(dx^{1})-dx^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-2x^{1}+5)}{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)dx^{1-1}-dx^{1}\left(2x^{2-1}-2x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)dx^{0}-dx^{1}\left(2x^{1}-2x^{0}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)^{2}}$$

Moltiplica x^{2}-2x^{1}+5 per dx^{0}.

$$\frac{x^{2}dx^{0}-2x^{1}dx^{0}+5dx^{0}-dx^{1}\left(2x^{1}-2x^{0}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)^{2}}$$

Moltiplica dx^{1} per 2x^{1}-2x^{0}.

$$\frac{x^{2}dx^{0}-2x^{1}dx^{0}+5dx^{0}-\left(dx^{1}\times 2x^{1}+dx^{1}\left(-2\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{dx^{2}-2dx^{1}+5dx^{0}-\left(d\times 2x^{1+1}+d\left(-2\right)x^{1}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{dx^{2}+\left(-2d\right)x^{1}+5dx^{0}-\left(2dx^{2}+\left(-2d\right)x^{1}\right)}{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{\left(-d\right)x^{2}+5dx^{0}}{\left(x^{2}-2x^{1}+5\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{\left(-d\right)x^{2}+5dx^{0}}{\left(x^{2}-2x+5\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{\left(-d\right)x^{2}+5d\times 1}{\left(x^{2}-2x+5\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t\times 1=t e 1t=t.

$$\frac{\left(-d\right)x^{2}+5d}{\left(x^{2}-2x+5\right)^{2}}$$