Risolvi 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Trova x

$$x=-1$$

Procedura della soluzione

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -8,-5,-2,1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), il minimo comune multiplo di x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 21 per x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 21x+105 per x+8 e combinare i termini simili.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 21 per x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 21x-21 per x+8 e combinare i termini simili.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combina 21x^{2} e 21x^{2} per ottenere 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combina 273x e 147x per ottenere 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sottrai 168 da 840 per ottenere 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 21 per x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 21x+42 per x-1 e combinare i termini simili.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combina 42x^{2} e 21x^{2} per ottenere 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combina 420x e 21x per ottenere 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Sottrai 42 da 672 per ottenere 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7 per x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7x+14 per x+5 e combinare i termini simili.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 7x^{2}+49x+70 per x+8 e combinare i termini simili.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Moltiplica 21 e -\frac{1}{21} per ottenere -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -1 per x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -x+1 per x+2 e combinare i termini simili.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -x^{2}-x+2 per x+5 e combinare i termini simili.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -x^{3}-6x^{2}-3x+10 per x+8 e combinare i termini simili.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Combina 7x^{3} e -14x^{3} per ottenere -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Combina 105x^{2} e -51x^{2} per ottenere 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Combina 462x e -14x per ottenere 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

E 560 e 80 per ottenere 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Aggiungi 7x^{3} a entrambi i lati.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Sottrai 54x^{2} da entrambi i lati.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Combina 63x^{2} e -54x^{2} per ottenere 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Sottrai 448x da entrambi i lati.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Combina 441x e -448x per ottenere -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Sottrai 640 da entrambi i lati.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Sottrai 640 da 630 per ottenere -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Aggiungi x^{4} a entrambi i lati.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Ridisponi l'equazione per convertirla nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -10 e q divide il coefficiente iniziale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=1$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 per x-1 per ottenere x^{3}+8x^{2}+17x+10. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante 10 e q divide il coefficiente iniziale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-1$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi x^{3}+8x^{2}+17x+10 per x+1 per ottenere x^{2}+7x+10. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, 7 con b e 10 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Risolvi l'equazione x^{2}+7x+10=0 quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=-5 x=-2$$

Rimuovi i valori a cui la variabile non può essere uguale.

$$x=-1$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 1,-5,-2.

$$x=-1$$