Risolvi 1/2+2x-1/x+2+x+4/3x+6=2-x/x^2+x-2

$$\frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 x - 1 } { x + 2 } + \frac { x + 4 } { 3 x + 6 } = \frac { 2 - x } { x ^ { 2 } + x - 2 }$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x = \frac{20}{17} = 1\frac{3}{17} \approx 1,176470588$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6\left(x-1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di 2,x+2,3x+6,x^{2}+x-2.

$$6\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times \frac{1}{2}+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per x-1.

$$\left(6x-6\right)\left(x+2\right)\times \frac{1}{2}+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x-6 per x+2 e combinare i termini simili.

$$\left(6x^{2}+6x-12\right)\times \frac{1}{2}+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x^{2}+6x-12 per \frac{1}{2}.

$$3x^{2}+3x-6+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x-6 per 2x-1 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}+3x-6+12x^{2}-18x+6+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Combina 3x^{2} e 12x^{2} per ottenere 15x^{2}.

$$15x^{2}+3x-6-18x+6+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Combina 3x e -18x per ottenere -15x.

$$15x^{2}-15x-6+6+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

E -6 e 6 per ottenere 0.

$$15x^{2}-15x+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per 2-x.

$$15x^{2}-15x+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=12-6x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-2 per x+4 e combinare i termini simili.

$$15x^{2}-15x+2x^{2}+6x-8=12-6x$$

Combina 15x^{2} e 2x^{2} per ottenere 17x^{2}.

$$17x^{2}-15x+6x-8=12-6x$$

Combina -15x e 6x per ottenere -9x.

$$17x^{2}-9x-8=12-6x$$

Sottrai 12 da entrambi i lati.

$$17x^{2}-9x-8-12=-6x$$

Sottrai 12 da -8 per ottenere -20.

$$17x^{2}-9x-20=-6x$$

Aggiungi 6x a entrambi i lati.

$$17x^{2}-9x-20+6x=0$$

Combina -9x e 6x per ottenere -3x.

$$17x^{2}-3x-20=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 17x^{2}+ax+bx-20. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=17\left(-20\right)=-340$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -340.

$$1,-340 2,-170 4,-85 5,-68 10,-34 17,-20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-340=-339 2-170=-168 4-85=-81 5-68=-63 10-34=-24 17-20=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-20 b=17$$

Riscrivi 17x^{2}-3x-20 come \left(17x^{2}-20x\right)+\left(17x-20\right).

$$\left(17x^{2}-20x\right)+\left(17x-20\right)$$

Scomponi x in 17x^{2}-20x.

$$x\left(17x-20\right)+17x-20$$

Fattorizza il termine comune 17x-20 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(17x-20\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 17x-20=0 e x+1=0.

$$x=\frac{20}{17} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6\left(x-1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di 2,x+2,3x+6,x^{2}+x-2.

$$6\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times \frac{1}{2}+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per x-1.

$$\left(6x-6\right)\left(x+2\right)\times \frac{1}{2}+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x-6 per x+2 e combinare i termini simili.

$$\left(6x^{2}+6x-12\right)\times \frac{1}{2}+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x^{2}+6x-12 per \frac{1}{2}.

$$3x^{2}+3x-6+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x-6 per 2x-1 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}+3x-6+12x^{2}-18x+6+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Combina 3x^{2} e 12x^{2} per ottenere 15x^{2}.

$$15x^{2}+3x-6-18x+6+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Combina 3x e -18x per ottenere -15x.

$$15x^{2}-15x-6+6+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

E -6 e 6 per ottenere 0.

$$15x^{2}-15x+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per 2-x.

$$15x^{2}-15x+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=12-6x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-2 per x+4 e combinare i termini simili.

$$15x^{2}-15x+2x^{2}+6x-8=12-6x$$

Combina 15x^{2} e 2x^{2} per ottenere 17x^{2}.

$$17x^{2}-15x+6x-8=12-6x$$

Combina -15x e 6x per ottenere -9x.

$$17x^{2}-9x-8=12-6x$$

Sottrai 12 da entrambi i lati.

$$17x^{2}-9x-8-12=-6x$$

Sottrai 12 da -8 per ottenere -20.

$$17x^{2}-9x-20=-6x$$

Aggiungi 6x a entrambi i lati.

$$17x^{2}-9x-20+6x=0$$

Combina -9x e 6x per ottenere -3x.

$$17x^{2}-3x-20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 17 a a, -3 a b e -20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 17\left(-20\right)}}{2\times 17}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 17\left(-20\right)}}{2\times 17}$$

Moltiplica -4 per 17.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-68\left(-20\right)}}{2\times 17}$$

Moltiplica -68 per -20.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+1360}}{2\times 17}$$

Aggiungi 9 a 1360.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1369}}{2\times 17}$$

Calcola la radice quadrata di 1369.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±37}{2\times 17}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±37}{2\times 17}$$

Moltiplica 2 per 17.

$$x=\frac{3±37}{34}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±37}{34} quando ± è più. Aggiungi 3 a 37.

$$x=\frac{40}{34}$$

Riduci la frazione \frac{40}{34} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{20}{17}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±37}{34} quando ± è meno. Sottrai 37 da 3.

$$x=-\frac{34}{34}$$

Dividi -34 per 34.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{20}{17} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 6\left(x-1\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di 2,x+2,3x+6,x^{2}+x-2.

$$6\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times \frac{1}{2}+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per x-1.

$$\left(6x-6\right)\left(x+2\right)\times \frac{1}{2}+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x-6 per x+2 e combinare i termini simili.

$$\left(6x^{2}+6x-12\right)\times \frac{1}{2}+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x^{2}+6x-12 per \frac{1}{2}.

$$3x^{2}+3x-6+\left(6x-6\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x-6 per 2x-1 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}+3x-6+12x^{2}-18x+6+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Combina 3x^{2} e 12x^{2} per ottenere 15x^{2}.

$$15x^{2}+3x-6-18x+6+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Combina 3x e -18x per ottenere -15x.

$$15x^{2}-15x-6+6+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

E -6 e 6 per ottenere 0.

$$15x^{2}-15x+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=6\left(2-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per 2-x.

$$15x^{2}-15x+\left(2x-2\right)\left(x+4\right)=12-6x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-2 per x+4 e combinare i termini simili.

$$15x^{2}-15x+2x^{2}+6x-8=12-6x$$

Combina 15x^{2} e 2x^{2} per ottenere 17x^{2}.

$$17x^{2}-15x+6x-8=12-6x$$

Combina -15x e 6x per ottenere -9x.

$$17x^{2}-9x-8=12-6x$$

Aggiungi 6x a entrambi i lati.

$$17x^{2}-9x-8+6x=12$$

Combina -9x e 6x per ottenere -3x.

$$17x^{2}-3x-8=12$$

Aggiungi 8 a entrambi i lati.

$$17x^{2}-3x=12+8$$

E 12 e 8 per ottenere 20.

$$17x^{2}-3x=20$$

Dividi entrambi i lati per 17.

$$\frac{17x^{2}-3x}{17}=\frac{20}{17}$$

La divisione per 17 annulla la moltiplicazione per 17.

$$x^{2}-\frac{3}{17}x=\frac{20}{17}$$

Dividi -\frac{3}{17}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{34}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{34} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{17}x+\left(-\frac{3}{34}\right)^{2}=\frac{20}{17}+\left(-\frac{3}{34}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{34} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{17}x+\frac{9}{1156}=\frac{20}{17}+\frac{9}{1156}$$

Aggiungi \frac{20}{17} a \frac{9}{1156} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{3}{17}x+\frac{9}{1156}=\frac{1369}{1156}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{17}x+\frac{9}{1156}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{34}\right)^{2}=\frac{1369}{1156}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{34}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{1156}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{34}=\frac{37}{34} x-\frac{3}{34}=-\frac{37}{34}$$

Aggiungi \frac{3}{34} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{20}{17} x=-1$$