Risolvi 1/2+sqrt{2}+1/3sqrt{2+2sqrt{3}}+1/4sqrt{3+3sqrt{4}}

$$\frac { 1 } { 2 + \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 3 } } + \frac { 1 } { 4 \sqrt { 3 } + 3 \sqrt { 4 } }$$

Calcola

$$\frac{1}{2}=0,5$$

Soluzione con pochi passaggi

Razionalizza il denominatore di \frac{1}{2+\sqrt{2}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2-\sqrt{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Considera \left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Eleva 2 al quadrato. Eleva \sqrt{2} al quadrato.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Sottrai 2 da 4 per ottenere 2.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Considera \left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Espandi \left(3\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Calcola 3 alla potenza di 2 e ottieni 9.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{9\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{9\times 2-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Moltiplica 9 e 2 per ottenere 18.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Espandi \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-4\times 3}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Moltiplica 4 e 3 per ottenere 12.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-12}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Sottrai 12 da 18 per ottenere 6.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Calcola la radice quadrata di 4 e ottieni 2.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\times 2}$$

Moltiplica 3 e 2 per ottenere 6.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{4\sqrt{3}+6}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{1}{4\sqrt{3}+6} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 4\sqrt{3}-6.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{\left(4\sqrt{3}+6\right)\left(4\sqrt{3}-6\right)}$$

Considera \left(4\sqrt{3}+6\right)\left(4\sqrt{3}-6\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-6^{2}}$$

Espandi \left(4\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{4^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-6^{2}}$$

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{16\left(\sqrt{3}\right)^{2}-6^{2}}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{16\times 3-6^{2}}$$

Moltiplica 16 e 3 per ottenere 48.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{48-6^{2}}$$

Calcola 6 alla potenza di 2 e ottieni 36.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{48-36}$$

Sottrai 36 da 48 per ottenere 12.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di 2 e 6 è 6. Moltiplica \frac{2-\sqrt{2}}{2} per \frac{3}{3}.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{6}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Poiché \frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{6} e \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Esegui le moltiplicazioni in 3\left(2-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}.

$$\frac{6-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Esegui le moltiplicazioni in 6-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di 6 e 12 è 12. Moltiplica \frac{6-2\sqrt{3}}{6} per \frac{2}{2}.

$$\frac{2\left(6-2\sqrt{3}\right)}{12}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Poiché \frac{2\left(6-2\sqrt{3}\right)}{12} e \frac{4\sqrt{3}-6}{12} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{2\left(6-2\sqrt{3}\right)+4\sqrt{3}-6}{12}$$

Esegui le moltiplicazioni in 2\left(6-2\sqrt{3}\right)+4\sqrt{3}-6.

$$\frac{12-4\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6}{12}$$

Esegui le moltiplicazioni in 12-4\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6.

$$\frac{6}{12}$$

Riduci la frazione \frac{6}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$\frac{1}{2}$$

Scomponi in fattori

$$\frac{1}{2} = 0,5$$