Risolvi (x+3)^2/5+1-(3x-1)^2/5=x(2x-3)/2

$$\frac { ( x + 3 ) ^ { 2 } } { 5 } + 1 - \frac { ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } } { 5 } = \frac { x ( 2 x - 3 ) } { 2 }$$

Trova x

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 10, il minimo comune multiplo di 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

E 18 e 10 per ottenere 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -2 per 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combina 2x^{2} e -18x^{2} per ottenere -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combina 12x e 12x per ottenere 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Sottrai 2 da 28 per ottenere 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x per 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Sottrai 10x^{2} da entrambi i lati.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Combina -16x^{2} e -10x^{2} per ottenere -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Aggiungi 15x a entrambi i lati.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Combina 24x e 15x per ottenere 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Dividi entrambi i lati per 13.

$$-2x^{2}+3x+2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -2x^{2}+ax+bx+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=-2\times 2=-4$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=4 b=-1$$

Riscrivi -2x^{2}+3x+2 come \left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right)$$

Scomponi 2x in -2x^{2}+4x.

$$2x\left(-x+2\right)-x+2$$

Fattorizza il termine comune -x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+2=0 e 2x+1=0.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 10, il minimo comune multiplo di 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

E 18 e 10 per ottenere 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -2 per 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combina 2x^{2} e -18x^{2} per ottenere -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combina 12x e 12x per ottenere 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Sottrai 2 da 28 per ottenere 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x per 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Sottrai 10x^{2} da entrambi i lati.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Combina -16x^{2} e -10x^{2} per ottenere -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Aggiungi 15x a entrambi i lati.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Combina 24x e 15x per ottenere 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -26 a a, 39 a b e 26 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Eleva 39 al quadrato.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Moltiplica -4 per -26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+104\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Moltiplica 104 per 26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+2704}}{2\left(-26\right)}$$

Aggiungi 1521 a 2704.

$$x=\frac{-39±\sqrt{4225}}{2\left(-26\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 4225.

$$x=\frac{-39±65}{2\left(-26\right)}$$

Moltiplica 2 per -26.

$$x=\frac{-39±65}{-52}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-39±65}{-52} quando ± è più. Aggiungi -39 a 65.

$$x=\frac{26}{-52}$$

Riduci la frazione \frac{26}{-52} ai minimi termini estraendo e annullando 26.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-39±65}{-52} quando ± è meno. Sottrai 65 da -39.

$$x=-\frac{104}{-52}$$

Dividi -104 per -52.

$$x=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{2} x=2$$

Procedura per completare il quadrato

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 10, il minimo comune multiplo di 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

E 18 e 10 per ottenere 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -2 per 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combina 2x^{2} e -18x^{2} per ottenere -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combina 12x e 12x per ottenere 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Sottrai 2 da 28 per ottenere 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x per 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Sottrai 10x^{2} da entrambi i lati.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Combina -16x^{2} e -10x^{2} per ottenere -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Aggiungi 15x a entrambi i lati.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Combina 24x e 15x per ottenere 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Sottrai 26 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-26x^{2}+39x=-26$$

Dividi entrambi i lati per -26.

$$\frac{-26x^{2}+39x}{-26}=-\frac{26}{-26}$$

La divisione per -26 annulla la moltiplicazione per -26.

$$x^{2}+\frac{39}{-26}x=-\frac{26}{-26}$$

Riduci la frazione \frac{39}{-26} ai minimi termini estraendo e annullando 13.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{26}{-26}$$

Dividi -26 per -26.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=1$$

Dividi -\frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=1+\frac{9}{16}$$

Aggiungi 1 a \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$