Risolvi frac{sqrt{2}-1}{2sqrt{2}+1}*frac{sqrt{2}+1}{-sqrt{2}+1}=

$$\frac { \sqrt { 2 } - 1 } { 2 \sqrt { 2 } + 1 } \cdot \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { - \sqrt { 2 } + 1 } =$$

Calcola

$$\frac{-\sqrt{2}-3}{7}\approx -0,630601937$$

Procedura della soluzione

Razionalizza il denominatore di \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2\sqrt{2}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{\left(2\sqrt{2}+1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

Considera \left(2\sqrt{2}+1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

Espandi \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{4\times 2-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

Moltiplica 4 e 2 per ottenere 8.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{8-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

Calcola 1 alla potenza di 2 e ottieni 1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{8-1}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

Sottrai 1 da 8 per ottenere 7.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1} moltiplicando il numeratore e il denominatore per -\sqrt{2}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{\left(-\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}$$

Considera \left(-\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{\left(-\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

Calcola -\sqrt{2} alla potenza di 2 e ottieni \left(\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

Calcola 1 alla potenza di 2 e ottieni 1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{2-1}$$

Sottrai 1 da 2 per ottenere 1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{1}$$

Un numero diviso per 1 resta uguale a se stesso.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di \sqrt{2}+1 per ogni termine di -\sqrt{2}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)$$

Esprimi \frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right) come singola frazione.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di \sqrt{2}-1 per ogni termine di 2\sqrt{2}-1.

$$\frac{\left(2\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\frac{\left(2\times 2-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

Combina -\sqrt{2} e -2\sqrt{2} per ottenere -3\sqrt{2}.

$$\frac{\left(4-3\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

E 4 e 1 per ottenere 5.

$$\frac{\left(5-3\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di 5-3\sqrt{2} per ogni termine di \sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-5\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5-3\left(-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}\right)^{2}+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-5\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5-3\left(-\sqrt{2}\right)\times 2+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

Moltiplica -3 e 2 per ottenere -6.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-5\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5-6\left(-\sqrt{2}\right)+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

Moltiplica -6 e -1 per ottenere 6.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-5\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5+6\sqrt{2}+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

Combina -5\sqrt{2} e 6\sqrt{2} per ottenere \sqrt{2}.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5+3\times 2-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

Moltiplica 3 e 2 per ottenere 6.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5+6-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

E -5 e 6 per ottenere 1.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

Moltiplica -3 e -1 per ottenere 3.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1+3\sqrt{2}\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{7}$$

Moltiplica \sqrt{2} e \sqrt{2} per ottenere 2.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1+3\times 2+3\sqrt{2}}{7}$$

Combina \sqrt{2} e 3\sqrt{2} per ottenere 4\sqrt{2}.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+4\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1+3\times 2}{7}$$

Moltiplica 3 e 2 per ottenere 6.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+4\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1+6}{7}$$

E 1 e 6 per ottenere 7.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+4\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+7}{7}$$

Moltiplica 5 e -1 per ottenere -5.

$$\frac{-5\sqrt{2}\sqrt{2}+4\sqrt{2}+5\left(-1\right)\sqrt{2}+7}{7}$$

Moltiplica \sqrt{2} e \sqrt{2} per ottenere 2.

$$\frac{-5\times 2+4\sqrt{2}+5\left(-1\right)\sqrt{2}+7}{7}$$

Moltiplica -5 e 2 per ottenere -10.

$$\frac{-10+4\sqrt{2}+5\left(-1\right)\sqrt{2}+7}{7}$$

Moltiplica 5 e -1 per ottenere -5.

$$\frac{-10+4\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7}{7}$$

Combina 4\sqrt{2} e -5\sqrt{2} per ottenere -\sqrt{2}.

$$\frac{-10-\sqrt{2}+7}{7}$$

E -10 e 7 per ottenere -3.

$$\frac{-3-\sqrt{2}}{7}$$