Risolvi =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Scomponi in fattori

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Procedura della soluzione

Per fattorizzare l'espressione, risolvere l'equazione in cui è uguale a 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Con il teorema delle radici razionali tutte le radici razionali di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -9 e q divide il coefficiente principale 20. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=\frac{1}{2}$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k di radice. Dividi 20x^{4}+31x^{2}-9 per 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 per ottenere 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Per fattorizzare il risultato, risolvi l'equazione quando uguale a 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Con il teorema delle radici razionali tutte le radici razionali di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante 9 e q divide il coefficiente principale 10. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k di radice. Dividi 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 per 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 per ottenere 5x^{2}+9. Per fattorizzare il risultato, risolvi l'equazione quando uguale a 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 5 con a, 0 con b e 9 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Il polinomio 5x^{2}+9 non è fattorizzato perché non contiene radici razionali.

$$5x^{2}+9$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata utilizzando le radici ottenute.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Calcola

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$