Leysa z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Leystu fyrir z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Skref með annars stigs formúlu

Skipta t út fyrir z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 1 fyrir a, -1 fyrir b og 1 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Reiknaðu.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Leystu jöfnuna t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Þar sem z=t^{3} eru lausnirnar fundnar með því leysa jöfnuna fyrir hvert t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$