Leysa {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+2y=46$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-2y+46$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Settu \frac{-y+23}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Leggðu -\frac{7y}{4} saman við 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Dragðu \frac{161}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{27}{5}$$

Skiptu \frac{27}{5} út fyrir y í x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum \frac{27}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Leggðu \frac{23}{4} saman við -\frac{27}{20} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{22}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Til að gera 8x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Einfaldaðu.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Dragðu 56x+24y=376 frá 56x+14y=322 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Leggðu 56x saman við -56x. Liðirnir 56x og -56x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$14y-24y=322-376$$

Leggðu 14y saman við -24y.

$$-10y=322-376$$

Leggðu 322 saman við -376.

$$-10y=-54$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Skiptu \frac{27}{5} út fyrir y í 7x+3y=47. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Dragðu \frac{81}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$