Leysa y=5x-43text{and}3x+5y=9

$$y = 5 x - 43 \text { and } 3 x + 5 y = 9$$

Leystu fyrir y, x

$$x=8$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=-43$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-5x=-43$$

Leggðu 5x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=5x-43$$

Settu 5x-43 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 5y+3x=9.

$$5\left(5x-43\right)+3x=9$$

Margfaldaðu 5 sinnum 5x-43.

$$25x-215+3x=9$$

Leggðu 25x saman við 3x.

$$28x-215=9$$

Leggðu 215 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$28x=224$$

Deildu báðum hliðum með 28.

$$x=8$$

Skiptu 8 út fyrir x í y=5x-43. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=5\times 8-43$$

Margfaldaðu 5 sinnum 8.

$$y=40-43$$

Leggðu -43 saman við 40.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=8$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=-43$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}&\frac{5}{28}\\-\frac{5}{28}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}\left(-43\right)+\frac{5}{28}\times 9\\-\frac{5}{28}\left(-43\right)+\frac{1}{28}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-3,x=8$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=-43$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Til að gera y og 5y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$5y+5\left(-5\right)x=5\left(-43\right),5y+3x=9$$

Einfaldaðu.

$$5y-25x=-215,5y+3x=9$$

Dragðu 5y+3x=9 frá 5y-25x=-215 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5y-5y-25x-3x=-215-9$$

Leggðu 5y saman við -5y. Liðirnir 5y og -5y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-25x-3x=-215-9$$

Leggðu -25x saman við -3x.

$$-28x=-215-9$$

Leggðu -215 saman við -9.

$$-28x=-224$$

Deildu báðum hliðum með -28.

$$x=8$$

Skiptu 8 út fyrir x í 5y+3x=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$5y+3\times 8=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum 8.

$$5y+24=9$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=8$$