Leysa y=2x-3text{and}5x+2y=30

$$y = 2 x - 3 \text { and } 5 x + 2 y = 30$$

Leystu fyrir y, x

$$x=4$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-2x=-3$$

Leggðu 2x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=2x-3$$

Settu 2x-3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 2y+5x=30.

$$2\left(2x-3\right)+5x=30$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2x-3.

$$4x-6+5x=30$$

Leggðu 4x saman við 5x.

$$9x-6=30$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9x=36$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y=2x-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=2\times 4-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$y=8-3$$

Leggðu -3 saman við 8.

$$y=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=5,x=4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=5,x=4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-2x=-3,2y+5x=30$$

Til að gera y og 2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-3\right),2y+5x=30$$

Einfaldaðu.

$$2y-4x=-6,2y+5x=30$$

Dragðu 2y+5x=30 frá 2y-4x=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2y-2y-4x-5x=-6-30$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4x-5x=-6-30$$

Leggðu -4x saman við -5x.

$$-9x=-6-30$$

Leggðu -6 saman við -30.

$$-9x=-36$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í 2y+5x=30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2y+5\times 4=30$$

Margfaldaðu 5 sinnum 4.

$$2y+20=30$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=5,x=4$$