Leysa y=2x+3quadtext{y}quadx=2y+3

$$y = 2 x + 3 \quad \text { y } \quad x = 2 y + 3$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-3$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-2y=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-2x=3$$

Leggðu 2x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=2x+3$$

Settu 2x+3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -2y+x=3.

$$-2\left(2x+3\right)+x=3$$

Margfaldaðu -2 sinnum 2x+3.

$$-4x-6+x=3$$

Leggðu -4x saman við x.

$$-3x-6=3$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3x=9$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-3$$

Skiptu -3 út fyrir x í y=2x+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3.

$$y=-6+3$$

Leggðu 3 saman við -6.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-2y=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 3\\-\frac{2}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-3,x=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-2y=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Til að gera y og -2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-2y-2\left(-2\right)x=-2\times 3,-2y+x=3$$

Einfaldaðu.

$$-2y+4x=-6,-2y+x=3$$

Dragðu -2y+x=3 frá -2y+4x=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2y+2y+4x-x=-6-3$$

Leggðu -2y saman við 2y. Liðirnir -2y og 2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4x-x=-6-3$$

Leggðu 4x saman við -x.

$$3x=-6-3$$

Leggðu -6 saman við -3.

$$3x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-3$$

Skiptu -3 út fyrir x í -2y+x=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-2y-3=3$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2y=6$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=-3$$