Leysa y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{4}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=8$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Leggðu \frac{4x}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Settu \frac{-28+4x}{3} inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Leggðu \frac{4x}{3} saman við -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Leggðu \frac{28}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-26$$

Skiptu -26 út fyrir x í y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Margfaldaðu \frac{4}{3} sinnum -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Leggðu -\frac{28}{3} saman við -\frac{104}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=-44$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-44,x=-26$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{4}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=8$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-44,x=-26$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{4}{3}x frá báðum hliðum.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=8$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Dragðu y-2x=8 frá y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Leggðu -\frac{4x}{3} saman við 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Leggðu -\frac{28}{3} saman við -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-26$$

Skiptu -26 út fyrir x í y-2x=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Margfaldaðu -2 sinnum -26.

$$y+52=8$$

Dragðu 52 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-44$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-44,x=-26$$