Leysa x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Leystu fyrir x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=5$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+5$$

Settu y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Margfaldaðu -4 sinnum y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Leggðu -4y saman við 5y.

$$y-20=7$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=27$$

Skiptu 27 út fyrir y í x=y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=27+5$$

Leggðu 5 saman við 27.

$$x=32$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=32,y=27$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=32,y=27$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Til að gera x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Einfaldaðu.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Dragðu -4x+5y=7 frá -4x+4y=-20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-5y=-20-7$$

Leggðu 4y saman við -5y.

$$-y=-20-7$$

Leggðu -20 saman við -7.

$$-y=-27$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=27$$

Skiptu 27 út fyrir y í -4x+5y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+5\times 27=7$$

Margfaldaðu 5 sinnum 27.

$$-4x+135=7$$

Dragðu 135 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-128$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=32$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=32,y=27$$