Leysa x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Leystu fyrir x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Skref með annars stigs formúlu

Þáttaðu vinstri hliðina til að leysa ójöfnuna. Þætta má margliðu með færslunni ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), þar sem x_{1} og x_{2} eru rætur annars stigs jöfnunnar ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 1 fyrir a, -2 fyrir b og -5 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Leystu jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Endurskrifaðu ójöfnuna með því a nota niðurstöðuna.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Til að margfeldi verði jákvætt þarf önnur af x-\left(\sqrt{6}+1\right) og x-\left(1-\sqrt{6}\right) að vera neikvæð og hin jákvæð. Skoðaðu þegar x-\left(\sqrt{6}+1\right) er jákvætt og x-\left(1-\sqrt{6}\right) er neikvætt.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Þetta er ósatt fyrir x.

$$x\in \emptyset$$

Skoðaðu þegar x-\left(1-\sqrt{6}\right) er jákvætt og x-\left(\sqrt{6}+1\right) er neikvætt.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Lausnin sem uppfyllir báðar ójöfnur er x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Endanleg lausn er sammengi fenginna lausna.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$