Leysa x+y=8,2x-3y=1

$$x + y = 8,2 x - 3 y = 1$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=8,2x-3y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=8$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+8$$

Settu -y+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=1.

$$2\left(-y+8\right)-3y=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+8.

$$-2y+16-3y=1$$

Leggðu -2y saman við -3y.

$$-5y+16=1$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-15$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3+8$$

Leggðu 8 saman við -3.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=8,2x-3y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8+\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}\times 8-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=8,2x-3y=1$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2y=2\times 8,2x-3y=1$$

Einfaldaðu.

$$2x+2y=16,2x-3y=1$$

Dragðu 2x-3y=1 frá 2x+2y=16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+2y+3y=16-1$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+3y=16-1$$

Leggðu 2y saman við 3y.

$$5y=16-1$$

Leggðu 16 saman við -1.

$$5y=15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 2x-3y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\times 3=1$$

Margfaldaðu -3 sinnum 3.

$$2x-9=1$$

Leggðu 9 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=3$$