Leysa x+2y=8quad,quad3x+y=9

$$x + 2 y = 8 \quad , \quad 3 x + y = 9$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=8,3x+y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=8$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+8$$

Settu -2y+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=9.

$$3\left(-2y+8\right)+y=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2y+8.

$$-6y+24+y=9$$

Leggðu -6y saman við y.

$$-5y+24=9$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-15$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-2y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 3+8$$

Margfaldaðu -2 sinnum 3.

$$x=-6+8$$

Leggðu 8 saman við -6.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=8,3x+y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 3}&-\frac{2}{1-2\times 3}\\-\frac{3}{1-2\times 3}&\frac{1}{1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 9\\\frac{3}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=8,3x+y=9$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 8,3x+y=9$$

Einfaldaðu.

$$3x+6y=24,3x+y=9$$

Dragðu 3x+y=9 frá 3x+6y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+6y-y=24-9$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-y=24-9$$

Leggðu 6y saman við -y.

$$5y=24-9$$

Leggðu 24 saman við -9.

$$5y=15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 3x+y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+3=9$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=3$$