Leysa x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$9x-2y=12$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=12$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+12$$

Settu -2y+12 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9x-2y=12.

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

Margfaldaðu 9 sinnum -2y+12.

$$-18y+108-2y=12$$

Leggðu -18y saman við -2y.

$$-20y+108=12$$

Dragðu 108 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-20y=-96$$

Deildu báðum hliðum með -20.

$$y=\frac{24}{5}$$

Skiptu \frac{24}{5} út fyrir y í x=-2y+12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

Leggðu 12 saman við -\frac{48}{5}.

$$x=\frac{12}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$9x-2y=12$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$9x-2y=12$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Til að gera x og 9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

Einfaldaðu.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

Dragðu 9x-2y=12 frá 9x+18y=108 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

Leggðu 9x saman við -9x. Liðirnir 9x og -9x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18y+2y=108-12$$

Leggðu 18y saman við 2y.

$$20y=108-12$$

Leggðu 108 saman við -12.

$$20y=96$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$y=\frac{24}{5}$$

Skiptu \frac{24}{5} út fyrir y í 9x-2y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{24}{5}.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

Leggðu \frac{48}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9x=\frac{108}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{12}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$