Leysa n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Leystu fyrir n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Skref sem nota þáttun

Leystu jöfnuna með því að þátta n^{2}-n-210 með formúlunni n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -1.

$$a=-15 b=14$$

Endurskrifaðu þáttuðu segðina \left(n+a\right)\left(n+b\right) með því að nota fengin gildi.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Leystu n-15=0 og n+14=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$n=15 n=-14$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem n^{2}+an+bn-210. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -1.

$$a=-15 b=14$$

Endurskrifa n^{2}-n-210 sem \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Taktu n út fyrir sviga í fyrsta hópi og 14 í öðrum hópi.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn n-15 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Leystu n-15=0 og n+14=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$n=15 n=-14$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$n^{2}-n-210=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1 inn fyrir a, -1 inn fyrir b og -210 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Leggðu 1 saman við 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Finndu kvaðratrót 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Gagnstæð tala tölunnar -1 er 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{1±29}{2} þegar ± er plús. Leggðu 1 saman við 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Deildu 30 með 2.

$$n=15$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{1±29}{2} þegar ± er mínus. Dragðu 29 frá 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Deildu -28 með 2.

$$n=-14$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$n=15 n=-14$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Leggðu 210 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Ef -210 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Dragðu -210 frá 0.

$$n^{2}-n=210$$

Deildu -1, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{1}{2}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{1}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{1}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Leggðu 210 saman við \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Stuðull n^{2}-n+\frac{1}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Einfaldaðu.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$n=15 n=-14$$