Leysa n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Leystu fyrir n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Skref sem nota þáttun

Leystu jöfnuna með því að þátta n^{2}-11n-60 með formúlunni n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -11.

$$a=-15 b=4$$

Endurskrifaðu þáttuðu segðina \left(n+a\right)\left(n+b\right) með því að nota fengin gildi.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Leystu n-15=0 og n+4=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$n=15 n=-4$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem n^{2}+an+bn-60. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -11.

$$a=-15 b=4$$

Endurskrifa n^{2}-11n-60 sem \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Taktu n út fyrir sviga í fyrsta hópi og 4 í öðrum hópi.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn n-15 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Leystu n-15=0 og n+4=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$n=15 n=-4$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1 inn fyrir a, -11 inn fyrir b og -60 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Hefðu -11 í annað veldi.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Leggðu 121 saman við 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Finndu kvaðratrót 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Gagnstæð tala tölunnar -11 er 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{11±19}{2} þegar ± er plús. Leggðu 11 saman við 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Deildu 30 með 2.

$$n=15$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{11±19}{2} þegar ± er mínus. Dragðu 19 frá 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Deildu -8 með 2.

$$n=-4$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$n=15 n=-4$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Leggðu 60 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Ef -60 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Dragðu -60 frá 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Deildu -11, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{11}{2}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{11}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{11}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Leggðu 60 saman við \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Stuðull n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Einfaldaðu.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Leggðu \frac{11}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$n=15 n=-4$$