Leysa f(t)=sint

$$f ( t ) = \sin t$$

Diffra með hliðsjón af t

$$\cos(t)$$

Skref með skilgreiningu afleiðu

Fyrir fall f\left(x\right) er afleiðan mörk \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} þegar h fer í 0, ef þau mörk eru til staðar.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\sin(t))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(t)}{h}\right)$$

Nota formúlu summu fyrir sínus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(t)}{h}$$

Taktu \sin(t) út fyrir sviga.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(t)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(t)\sin(h)}{h}$$

Endurraðaðu markgildinu.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(t)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(t)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Notaðu staðreyndina að t sé fasti þegar markgildi reiknað sem h fer í 0.

$$\sin(t)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(t)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Markgildið \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t} er 1.

$$\sin(t)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(t)$$

Til að reikna út markgildi \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} skal fyrst margfalda teljara og nefnara með \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Margfaldaðu \cos(h)+1 sinnum \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Notaðu pýþagórska aljöfnu.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Endurraðaðu markgildinu.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Markgildið \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t} er 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Notaðu staðreyndina að \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} er samfellt við 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Settu gildið 0 inn í stæðuna \sin(t)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(t).

$$\cos(t)$$

Meta

$$\sin(t)$$