Leysa ax+3y=15text{ve}3x+by=4d

$$a x + 3 y = 15 \text { ve } 3 x + b y = 4 d$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$ax+3y=15$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$ax=-3y+15$$

Deildu báðum hliðum með a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{a} sinnum -3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

Settu \frac{3\left(5-y\right)}{a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

Leggðu -\frac{9y}{a} saman við by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

Dragðu \frac{45}{a} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

Deildu báðum hliðum með b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Skiptu \frac{4da-45}{ba-9} út fyrir y í x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{a} sinnum \frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

Leggðu \frac{15}{a} saman við -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Til að gera ax og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

Einfaldaðu.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

Dragðu 3ax+aby=4ad frá 3ax+9y=45 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Leggðu 3ax saman við -3ax. Liðirnir 3ax og -3ax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Leggðu 9y saman við -aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

Deildu báðum hliðum með 9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

Skiptu \frac{45-4ad}{9-ab} út fyrir y í 3x+by=4d. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

Margfaldaðu b sinnum \frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

Dragðu \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$ax+3y=15$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$ax=-3y+15$$

Deildu báðum hliðum með a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{a} sinnum -3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

Settu \frac{3\left(5-y\right)}{a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

Leggðu -\frac{9y}{a} saman við by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

Dragðu \frac{45}{a} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

Deildu báðum hliðum með b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Skiptu \frac{4da-45}{ba-9} út fyrir y í x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{a} sinnum \frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

Leggðu \frac{15}{a} saman við -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Til að gera ax og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

Einfaldaðu.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

Dragðu 3ax+aby=4ad frá 3ax+9y=45 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Leggðu 3ax saman við -3ax. Liðirnir 3ax og -3ax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Leggðu 9y saman við -aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

Deildu báðum hliðum með 9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

Skiptu \frac{45-4ad}{9-ab} út fyrir y í 3x+by=4d. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

Margfaldaðu b sinnum \frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

Dragðu \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$