Leysa 9z^2-30z+41=0

$$9 z ^ { 2 } - 30 z + 41 = 0$$

Leystu fyrir z

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i\approx 1.666666667+1.333333333i$$

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i\approx 1.666666667-1.333333333i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 9 inn fyrir a, -30 inn fyrir b og 41 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Hefðu -30 í annað veldi.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 9.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 41}}{2\times 9}$$

Margfaldaðu -36 sinnum 41.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-1476}}{2\times 9}$$

Leggðu 900 saman við -1476.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-576}}{2\times 9}$$

Finndu kvaðratrót -576.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±24i}{2\times 9}$$

Gagnstæð tala tölunnar -30 er 30.

$$z=\frac{30±24i}{2\times 9}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 9.

$$z=\frac{30±24i}{18}$$

Leystu nú jöfnuna z=\frac{30±24i}{18} þegar ± er plús. Leggðu 30 saman við 24i.

$$z=\frac{30+24i}{18}$$

Deildu 30+24i með 18.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i$$

Leystu nú jöfnuna z=\frac{30±24i}{18} þegar ± er mínus. Dragðu 24i frá 30.

$$z=\frac{30-24i}{18}$$

Deildu 30-24i með 18.

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Dragðu 41 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9z^{2}-30z+41-41=-41$$

Ef 41 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$9z^{2}-30z=-41$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$\frac{9z^{2}-30z}{9}=-\frac{41}{9}$$

Að deila með 9 afturkallar margföldun með 9.

$$z^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)z=-\frac{41}{9}$$

Minnka brotið \frac{-30}{9} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 3.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z=-\frac{41}{9}$$

Deildu -\frac{10}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{5}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{5}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{41}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{5}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=\frac{-41+25}{9}$$

Leggðu -\frac{41}{9} saman við \frac{25}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=-\frac{16}{9}$$

Stuðull z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{16}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$z-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}i z-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}i$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$