Leysa 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Leystu fyrir y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 9 inn fyrir a, -12 inn fyrir b og 2 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Hefðu -12 í annað veldi.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Margfaldaðu -36 sinnum 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Leggðu 144 saman við -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Finndu kvaðratrót 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Gagnstæð tala tölunnar -12 er 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} þegar ± er plús. Leggðu 12 saman við 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Deildu 12+6\sqrt{2} með 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} þegar ± er mínus. Dragðu 6\sqrt{2} frá 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Deildu 12-6\sqrt{2} með 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Ef 2 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Að deila með 9 afturkallar margföldun með 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Minnka brotið \frac{-12}{9} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Deildu -\frac{4}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{2}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{2}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{2}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Leggðu -\frac{2}{9} saman við \frac{4}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Stuðull y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$