Leysa 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Dragðu 65 frá báðum hliðum.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 9x^{2}+ax+bx-65. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -24.

$$a=-39 b=15$$

Endurskrifa 9x^{2}-24x-65 sem \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

Taktu 3x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 5 í öðrum hópi.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 3x-13 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Leystu 3x-13=0 og 3x+5=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$9x^{2}-24x=65$$

Dragðu 65 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Ef 65 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 9 inn fyrir a, -24 inn fyrir b og -65 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Hefðu -24 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Margfaldaðu -36 sinnum -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Leggðu 576 saman við 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Finndu kvaðratrót 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

Gagnstæð tala tölunnar -24 er 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{24±54}{18} þegar ± er plús. Leggðu 24 saman við 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Minnka brotið \frac{78}{18} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{24±54}{18} þegar ± er mínus. Dragðu 54 frá 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Minnka brotið \frac{-30}{18} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Að deila með 9 afturkallar margföldun með 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Minnka brotið \frac{-24}{9} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Deildu -\frac{8}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{4}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{4}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{4}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Leggðu \frac{65}{9} saman við \frac{16}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Stuðull x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$