Leysa 8n^2+33n+31=0

$$8 n ^ { 2 } + 33 n + 31 = 0$$

Leystu fyrir n

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16}\approx -1.446946387$$

$$n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}\approx -2.678053613$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$8n^{2}+33n+31=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 8 inn fyrir a, 33 inn fyrir b og 31 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 8\times 31}}{2\times 8}$$

Hefðu 33 í annað veldi.

$$n=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 8\times 31}}{2\times 8}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 8.

$$n=\frac{-33±\sqrt{1089-32\times 31}}{2\times 8}$$

Margfaldaðu -32 sinnum 31.

$$n=\frac{-33±\sqrt{1089-992}}{2\times 8}$$

Leggðu 1089 saman við -992.

$$n=\frac{-33±\sqrt{97}}{2\times 8}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 8.

$$n=\frac{-33±\sqrt{97}}{16}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{-33±\sqrt{97}}{16} þegar ± er plús. Leggðu -33 saman við \sqrt{97}.

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{-33±\sqrt{97}}{16} þegar ± er mínus. Dragðu \sqrt{97} frá -33.

$$n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16} n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}+33n+31=0$$

Dragðu 31 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8n^{2}+33n+31-31=-31$$

Ef 31 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$8n^{2}+33n=-31$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$\frac{8n^{2}+33n}{8}=-\frac{31}{8}$$

Að deila með 8 afturkallar margföldun með 8.

$$n^{2}+\frac{33}{8}n=-\frac{31}{8}$$

Deildu \frac{33}{8}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{33}{16}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{33}{16} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$n^{2}+\frac{33}{8}n+\left(\frac{33}{16}\right)^{2}=-\frac{31}{8}+\left(\frac{33}{16}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{33}{16} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$n^{2}+\frac{33}{8}n+\frac{1089}{256}=-\frac{31}{8}+\frac{1089}{256}$$

Leggðu -\frac{31}{8} saman við \frac{1089}{256} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$n^{2}+\frac{33}{8}n+\frac{1089}{256}=\frac{97}{256}$$

Stuðull n^{2}+\frac{33}{8}n+\frac{1089}{256}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{33}{16}\right)^{2}=\frac{97}{256}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(n+\frac{33}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{256}}$$

Einfaldaðu.

$$n+\frac{33}{16}=\frac{\sqrt{97}}{16} n+\frac{33}{16}=-\frac{\sqrt{97}}{16}$$

Dragðu \frac{33}{16} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$n=\frac{\sqrt{97}-33}{16} n=\frac{-\sqrt{97}-33}{16}$$