Leysa 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x-15y-2=0$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x-15y=2$$

Leggðu 15y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=15y+2$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Settu \frac{15y+2}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Leggðu \frac{15y}{7} saman við 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Dragðu \frac{2}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{29}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{19}{29}$$

Skiptu \frac{19}{29} út fyrir y í x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Margfaldaðu \frac{15}{7} sinnum \frac{19}{29} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Leggðu \frac{2}{7} saman við \frac{285}{203} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{49}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Til að gera 7x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Einfaldaðu.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Dragðu 7x+14y=21 frá 7x-15y-2=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Leggðu 7x saman við -7x. Liðirnir 7x og -7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-15y-14y-2=-21$$

Leggðu -15y saman við -14y.

$$-29y-2=-21$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-29y=-19$$

Deildu báðum hliðum með -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Skiptu \frac{19}{29} út fyrir y í x+2y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Dragðu \frac{38}{29} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{49}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$