Leysa 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 64 inn fyrir a, 24\sqrt{5} inn fyrir b og 33 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Hefðu 24\sqrt{5} í annað veldi.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Margfaldaðu -256 sinnum 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Leggðu 2880 saman við -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Finndu kvaðratrót -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} þegar ± er plús. Leggðu -24\sqrt{5} saman við 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Deildu -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} með 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} þegar ± er mínus. Dragðu 8i\sqrt{87} frá -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Deildu -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} með 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Dragðu 33 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Ef 33 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Deildu báðum hliðum með 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Að deila með 64 afturkallar margföldun með 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Deildu 24\sqrt{5} með 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Deildu \frac{3\sqrt{5}}{8}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{3\sqrt{5}}{16}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{3\sqrt{5}}{16} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{3\sqrt{5}}{16} í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Leggðu -\frac{33}{64} saman við \frac{45}{256} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Stuðull x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Dragðu \frac{3\sqrt{5}}{16} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$