Leysa 6x-9y=-1,-2x+y=1

$$6 x - 9 y = - 1 , - 2 x + y = 1$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x-9y=-1$$

Leggðu 9y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=9y-1$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(9y-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 9y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}$$

Settu \frac{3y}{2}-\frac{1}{6} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+y=1.

$$-2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}\right)+y=1$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{3y}{2}-\frac{1}{6}.

$$-3y+\frac{1}{3}+y=1$$

Leggðu -3y saman við y.

$$-2y+\frac{1}{3}=1$$

Dragðu \frac{1}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=\frac{2}{3}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Skiptu -\frac{1}{3} út fyrir y í x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -\frac{1}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$$

Leggðu -\frac{1}{6} saman við -\frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&-\frac{-9}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

Til að gera 6x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$-2\times 6x-2\left(-9\right)y=-2\left(-1\right),6\left(-2\right)x+6y=6$$

Einfaldaðu.

$$-12x+18y=2,-12x+6y=6$$

Dragðu -12x+6y=6 frá -12x+18y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-12x+12x+18y-6y=2-6$$

Leggðu -12x saman við 12x. Liðirnir -12x og 12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$18y-6y=2-6$$

Leggðu 18y saman við -6y.

$$12y=2-6$$

Leggðu 2 saman við -6.

$$12y=-4$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Skiptu -\frac{1}{3} út fyrir y í -2x+y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-\frac{1}{3}=1$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=\frac{4}{3}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$