Leysa 6x-3y=10,-3x=6y+5

$$6 x - 3 y = 10 , - 3 x = 6 y + 5$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$-3x-6y=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x-3y=10,-3x-6y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x-3y=10$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=3y+10$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(3y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 3y+10.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{y}{2}+\frac{5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x-6y=5.

$$-3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{3}\right)-6y=5$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{y}{2}+\frac{5}{3}.

$$-\frac{3}{2}y-5-6y=5$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við -6y.

$$-\frac{15}{2}y-5=5$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{15}{2}y=10$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{15}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Skiptu -\frac{4}{3} út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{3}\right)+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -\frac{4}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-\frac{4}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$-3x-6y=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x-3y=10,-3x-6y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-6\right)-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\\-\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 10-\frac{1}{15}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 10-\frac{2}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-\frac{4}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 6y frá báðum hliðum.

$$-3x-6y=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x-3y=10,-3x-6y=5$$

Til að gera 6x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$-3\times 6x-3\left(-3\right)y=-3\times 10,6\left(-3\right)x+6\left(-6\right)y=6\times 5$$

Einfaldaðu.

$$-18x+9y=-30,-18x-36y=30$$

Dragðu -18x-36y=30 frá -18x+9y=-30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-18x+18x+9y+36y=-30-30$$

Leggðu -18x saman við 18x. Liðirnir -18x og 18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y+36y=-30-30$$

Leggðu 9y saman við 36y.

$$45y=-30-30$$

Leggðu -30 saman við -30.

$$45y=-60$$

Deildu báðum hliðum með 45.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Skiptu -\frac{4}{3} út fyrir y í -3x-6y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x-6\left(-\frac{4}{3}\right)=5$$

Margfaldaðu -6 sinnum -\frac{4}{3}.

$$-3x+8=5$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-3$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-\frac{4}{3}$$