Leysa 5x^2-x-120=0

$$5 x ^ { 2 } - x - 120 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{24}{5} = -4\frac{4}{5} = -4.8$$

$$x=5$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 5x^{2}+ax+bx-120. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-1 ab=5\left(-120\right)=-600$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -1.

$$a=-25 b=24$$

Endurskrifa 5x^{2}-x-120 sem \left(5x^{2}-25x\right)+\left(24x-120\right).

$$\left(5x^{2}-25x\right)+\left(24x-120\right)$$

Taktu 5x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 24 í öðrum hópi.

$$5x\left(x-5\right)+24\left(x-5\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-5 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-5\right)\left(5x+24\right)$$

Leystu x-5=0 og 5x+24=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$5x^{2}-x-120=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 5 inn fyrir a, -1 inn fyrir b og -120 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-120\right)}}{2\times 5}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-120\right)}}{2\times 5}$$

Margfaldaðu -20 sinnum -120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+2400}}{2\times 5}$$

Leggðu 1 saman við 2400.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{2401}}{2\times 5}$$

Finndu kvaðratrót 2401.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±49}{2\times 5}$$

Gagnstæð tala tölunnar -1 er 1.

$$x=\frac{1±49}{2\times 5}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 5.

$$x=\frac{1±49}{10}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{1±49}{10} þegar ± er plús. Leggðu 1 saman við 49.

$$x=\frac{50}{10}$$

Deildu 50 með 10.

$$x=5$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{1±49}{10} þegar ± er mínus. Dragðu 49 frá 1.

$$x=-\frac{48}{10}$$

Minnka brotið \frac{-48}{10} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x=-\frac{24}{5}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-120=0$$

Leggðu 120 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x^{2}-x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Ef -120 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$5x^{2}-x=-\left(-120\right)$$

Dragðu -120 frá 0.

$$5x^{2}-x=120$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{120}{5}$$

Að deila með 5 afturkallar margföldun með 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{120}{5}$$

Deildu 120 með 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=24$$

Deildu -\frac{1}{5}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{1}{10}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{1}{10} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=24+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{1}{10} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=24+\frac{1}{100}$$

Leggðu 24 saman við \frac{1}{100}.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2401}{100}$$

Stuðull x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2401}{100}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{100}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{49}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{49}{10}$$

Leggðu \frac{1}{10} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$