Leysa 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 5 inn fyrir a, 3 inn fyrir b og 1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Hefðu 3 í annað veldi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Leggðu 9 saman við -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Finndu kvaðratrót -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} þegar ± er plús. Leggðu -3 saman við i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} þegar ± er mínus. Dragðu i\sqrt{11} frá -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Ef 1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Að deila með 5 afturkallar margföldun með 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Deildu \frac{3}{5}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{3}{10}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{3}{10} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{3}{10} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Leggðu -\frac{1}{5} saman við \frac{9}{100} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Stuðull x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Dragðu \frac{3}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$