Leysa 5x+2y=12text{and}3x-2y=4

$$5 x + 2 y = 12 \text { and } 3 x - 2 y = 4$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=12$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y+12$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y+12.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}$$

Settu \frac{-2y+12}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=4.

$$3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}\right)-2y=4$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-2y+12}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}-2y=4$$

Leggðu -\frac{6y}{5} saman við -2y.

$$-\frac{16}{5}y+\frac{36}{5}=4$$

Dragðu \frac{36}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{16}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{-2+12}{5}$$

Leggðu \frac{12}{5} saman við -\frac{2}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 12+\frac{1}{8}\times 4\\\frac{3}{16}\times 12-\frac{5}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\times 2y=3\times 12,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 4$$

Einfaldaðu.

$$15x+6y=36,15x-10y=20$$

Dragðu 15x-10y=20 frá 15x+6y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+6y+10y=36-20$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+10y=36-20$$

Leggðu 6y saman við 10y.

$$16y=36-20$$

Leggðu 36 saman við -20.

$$16y=16$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 3x-2y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2=4$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=1$$