Leysa 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 5x^{2}+ax+bx-42. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -29.

$$a=-35 b=6$$

Endurskrifa 5x^{2}-29x-42 sem \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Taktu 5x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 6 í öðrum hópi.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-7 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Leystu x-7=0 og 5x+6=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 5 inn fyrir a, -29 inn fyrir b og -42 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Hefðu -29 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Margfaldaðu -20 sinnum -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Leggðu 841 saman við 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Finndu kvaðratrót 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Gagnstæð tala tölunnar -29 er 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{29±41}{10} þegar ± er plús. Leggðu 29 saman við 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Deildu 70 með 10.

$$x=7$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{29±41}{10} þegar ± er mínus. Dragðu 41 frá 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Minnka brotið \frac{-12}{10} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Leggðu 42 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Ef -42 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Dragðu -42 frá 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Að deila með 5 afturkallar margföldun með 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Deildu -\frac{29}{5}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{29}{10}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{29}{10} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{29}{10} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Leggðu \frac{42}{5} saman við \frac{841}{100} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Stuðull x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Leggðu \frac{29}{10} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$