Leysa 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 42x^{2}+ax+bx-3. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -5.

$$a=-14 b=9$$

Endurskrifa 42x^{2}-5x-3 sem \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Taktu 14x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 3 í öðrum hópi.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 3x-1 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Leystu 3x-1=0 og 14x+3=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 42 inn fyrir a, -5 inn fyrir b og -3 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Hefðu -5 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Margfaldaðu -168 sinnum -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Leggðu 25 saman við 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Finndu kvaðratrót 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Gagnstæð tala tölunnar -5 er 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{5±23}{84} þegar ± er plús. Leggðu 5 saman við 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Minnka brotið \frac{28}{84} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{5±23}{84} þegar ± er mínus. Dragðu 23 frá 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Minnka brotið \frac{-18}{84} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ef -3 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Dragðu -3 frá 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Deildu báðum hliðum með 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Að deila með 42 afturkallar margföldun með 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Minnka brotið \frac{3}{42} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Deildu -\frac{5}{42}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{5}{84}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{5}{84} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{5}{84} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Leggðu \frac{1}{14} saman við \frac{25}{7056} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Stuðull x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Leggðu \frac{5}{84} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$